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Chapitre 5 - La prise en compte des données aléatoires
3. E(Cr
E(Cr
V(Cr
) = 2,064 € et σ (Cr
) = 0,078 €
) = E(0,16 + 0,01X + 0,018Y) = 0,16 + 0,01 × 50 + 0,018 × 78 = 2,064 €
) = V(0,16 + 0,01X + 0,018Y) = 0,012
.32 + 0,0182 × 42 = 6,084.10−3, d'où σ (Cr
) = 0,078 €
Le coût moyen d'un œuf emballé est de 2,064 €, et ce coût peut varier de plus ou moins 0,078 €.
B Les variables aléatoires continues
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre une infinité de valeurs comprises dans un intervalle
[a,b]. Elle se définit par sa fonction de répartition et sa densité de probabilité.
Par exemple, à la naissance, le poids d'un enfant est compris entre 2,6 kg et 5,2 kg. Son poids peut prendre
un nombre infini de valeurs.
1
La densité de probabilité, la fonction de répartition et la loi de probabilité
Soit un intervalle I [a ; b], on appelle densité de probabilité toute fonction continue et positive sur I tel que :
b
∫
a
Exemple
Déterminer un réel A de façon à ce que la fonction f définie sur [0,1] par f(x) = x + A, soit une densité de probabilité sur [0,1].
On cherche A tel que : On cherche A tel que : ∫I
f(x)dx = 1 d'où ∫0
1
Rappel : la primitive de x est : x2
1
[
x2
2
+ Ax]0
= 1 et [
12
2
+ 1A] − [
/ 2, et la primitive de xn
02
2
est : xn+1
(x + A)dx = 1
/ (n + 1)
+ 0A] = 1, d'où A + 1 / 2 = 1 et donc A = 1 / 2.
On appelle fonction de répartition de X, la fonction F définie pour tout réel x de I [a ; b] par :
F(x) =
x
∫
x → −∞
f(x)dx
a
F(X) est une fonction positive croissante, lim F(X) = 0 et lim F(X) = 1d'où ∫−∞
+∞
x → +∞
f(x)dx = 1.
La loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle
donné.
79
f(x)dx = 1

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