PARTIE 2 - La détermination et l'analyse des coûts comme réponse à différents problèmes de gestion B 1 Les lois de probabilités continues La loi exponentielle Rappelons nous que : x b P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f(x)dx a Dans le cas d'une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur R+ P(0 ≤ X ≤ x) = ∫ λe−λt et P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x) = e−λx Les caractéristiques de la loi exponentielle sont : L'espérance mathématique : E(X) = La variance V(X) = 1 λ2 1 λ et l'écart- type σ (X) = 1 λ APPLICATION CORRIGÉE (d'après un sujet d'examen adapté) Dans la population constituée de tous les comptes rémunérés de toutes les agences de la banque B, on note T la variable aléatoire qui, à chaque compte, associe son montant en euros. On admet que T suit une loi exponentielle de paramètre λ = 6,116 × 10−4 . 1. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire T. 2. Calculer à 10−3 près la probabilité P (1 000 < T < 2 000). 3. Calculer à 10−3 près la probabilité de l'évènement (T > 1 000). 4. Calculer à 10−3 près la probabilité de l'évènement (T > 5 000) sachant que (T > 4 000). Correction 1. Espérance de la variable aléatoire T E(X) = 1 6,116 . 10−4 2. Calcul à 10−3 près la probabilité P (1 000 < T < 2 000) P(1 000 < T < 2 000) = (1 − e−2 000λ ) − (1 − e−1 000λ ) = 0,248 3. Calcul à 10−3 près la probabilité de l'évènement (T > 1 000) P(T > 1 000) = 1 − P(T ≤ 1 000) = e−1 000λ = 0,542 4. Calcul à 10−3 près la probabilité de l'évènement (T > 5 000) sachant que (T > 4 000) = e−1 000λ P(T > 5 000 sachant T > 4 000) = P(T > 5 000) P(T > 4 000) 86 = e−5 000λ e−4 000λ = 0,542 = 1 635,06 € dt = P(X ≤ x) = 1 − e−λx